La formule sin a cos b relie un produit de fonctions trigonométriques à une somme de sinus. Transformer ce produit en somme simplifie des calculs qui, autrement, restent bloqués sous forme de produits difficiles à intégrer ou à factoriser. Cet article détaille la démonstration, compare les formules produit-somme entre elles et montre comment les appliquer concrètement en intégration et en traitement du signal.
Sin a cos b et séparation de fréquences en traitement du signal
Les formules produit-somme ne servent pas uniquement à résoudre des exercices de trigonométrie sur papier. En traitement du signal, multiplier deux sinusoïdes de fréquences distinctes revient à produire deux nouvelles composantes fréquentielles. La formule sin a cos b = 1/2 [sin(a + b) + sin(a – b)] traduit exactement ce phénomène : le produit d’un sinus et d’un cosinus se décompose en deux sinus dont les arguments sont la somme et la différence des angles d’origine.
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Cette propriété est exploitée dans la modulation d’amplitude. Quand un signal porteur (cosinus de fréquence élevée) est multiplié par un signal message (sinus de fréquence plus basse), le résultat contient deux bandes latérales. Les séparer revient à appliquer la formule produit-somme. C’est aussi ce qui permet à un récepteur radio de retrouver le signal utile.
Pour quiconque cherche à approfondir la formule sin a cos b à comprendre, ce lien entre algèbre trigonométrique et physique des ondes donne un motif concret de la maîtriser au-delà du programme scolaire.
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Tableau comparatif des formules produit-somme en trigonométrie
La formule sin a cos b n’est pas isolée. Elle appartient à une famille de trois identités qui convertissent chacune un produit de fonctions trigonométriques en somme (ou différence). Les confondre est l’erreur la plus fréquente en examen.
| Produit | Formule équivalente | Résultat obtenu |
|---|---|---|
| sin(a) cos(b) | 1/2 [sin(a + b) + sin(a – b)] | Somme de deux sinus |
| cos(a) cos(b) | 1/2 [cos(a – b) + cos(a + b)] | Somme de deux cosinus |
| sin(a) sin(b) | 1/2 [cos(a – b) – cos(a + b)] | Différence de deux cosinus |
Un point de repère : seule sin a cos b produit des sinus en sortie. Les deux autres formules donnent des cosinus. Ce détail évite de mélanger les signes et les fonctions lors d’un calcul rapide.
Le signe qui sépare les deux termes du résultat varie aussi. Pour cos a cos b et sin a cos b, c’est un « + ». Pour sin a sin b, c’est un « – ». Retenir cette asymétrie est plus fiable que de réapprendre la démonstration à chaque exercice.
Démonstration de sin a cos b à partir des formules d’addition
La preuve repose sur deux formules d’addition du sinus que tout programme de lycée et de prépa inclut :
- sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
- sin(a – b) = sin a cos b – cos a sin b
En additionnant ces deux égalités membre à membre, les termes en cos a sin b s’annulent. Il reste :
sin(a + b) + sin(a – b) = 2 sin a cos b
Diviser les deux membres par 2 donne directement la formule : sin a cos b = 1/2 [sin(a + b) + sin(a – b)]. La démonstration tient en trois lignes, ce qui la rend facile à reconstituer en examen si la mémoire fait défaut.
La même méthode fonctionne pour les deux autres identités produit-somme. Pour cos a cos b, on additionne cos(a + b) et cos(a – b). Pour sin a sin b, on les soustrait. Le mécanisme est toujours le même : combiner deux formules d’addition pour éliminer l’un des deux produits croisés.
Calcul d’intégrales trigonométriques avec sin a cos b
L’un des usages les plus directs de cette formule est la simplification d’intégrales de produits trigonométriques. Intégrer sin(3x) cos(5x) tel quel ne mène nulle part avec les techniques de base. Appliquer la formule transforme le produit en somme :
sin(3x) cos(5x) = 1/2 [sin(8x) + sin(-2x)] = 1/2 [sin(8x) – sin(2x)]
Chaque terme s’intègre alors séparément, car l’intégrale d’un sinus simple est un cosinus divisé par le coefficient de x :
- Intégrale de sin(8x) = -cos(8x)/8
- Intégrale de sin(2x) = -cos(2x)/2
- Résultat final : 1/2 [-cos(8x)/8 + cos(2x)/2] + C
Sans la conversion produit-somme, il faudrait recourir à des techniques plus lourdes (intégration par parties répétée, linéarisation complète). La formule réduit le problème à deux intégrales élémentaires en une seule étape.
Piège fréquent sur le signe de sin(-x)
Quand a – b donne un angle négatif, sin(-x) = -sin(x). Oublier cette propriété d’imparité du sinus conduit à une erreur de signe sur le résultat final. Le tableau ci-dessus montre un « + » entre les deux sinus, mais si l’argument du second sinus est négatif, le signe effectif devient un « – » après simplification. Vérifier systématiquement le signe de (a – b) avant de poursuivre le calcul évite cette faute classique.
Sens de lecture inverse : passer d’une somme de sinus à un produit
La formule fonctionne dans les deux sens. On peut aussi partir d’une somme de sinus pour retrouver un produit, ce qu’on appelle les formules de factorisation (ou somme-produit). En posant p = a + b et q = a – b, on obtient a = (p + q)/2 et b = (p – q)/2, donc :
sin p + sin q = 2 sin[(p + q)/2] cos[(p – q)/2]
Cette lecture inverse est utile pour résoudre des équations trigonométriques. Factoriser une somme en produit permet d’appliquer la règle du produit nul : l’un des deux facteurs vaut zéro. On ramène ainsi une équation complexe à deux équations simples.
La formule sin a cos b et sa réciproque couvrent donc deux besoins distincts : simplifier un produit avant intégration, ou factoriser une somme avant résolution d’équation. Maîtriser les deux sens de lecture donne un outil complet pour la trigonométrie analytique, du lycée jusqu’aux classes préparatoires.